模型的时间聚集性以及数据频率选择中的错误有哪些？
在物理科学中,自然规律通常是用微分方程来表示的。微分方程可以将函数与其导数即时连接起来。求解微分方程的一个方法是将微分方程离散化,换句话说,确定离散的差分方程来逼近原始的微分方程。为了得到一个好的逼近,离散的步长通常必须很小。
要确定不同点之间的函数关系,我们需要求解出微分方程。例如,考虑投向海中的一块石头的轨迹,这个石头的轨迹是由一个动态微分方程、流体力学以及重力因素决定的。这些方程是即时有效的。为了确定石头在每秒的位置,我们必须求解方程,并考虑在这一秒区间内的解。通常没有简单的离散方程能得到石头在每一秒的位置。
在金融理论中,存在离散时间模型和连续时间模型。连续时间模型与物理中的微分方程相似。例如, (Black-Scholes)期权定价模型。为了确定任意给定日期的期权价格分布,我们必须求解Black-Scholes定价方程。在某些假设下,可以给出它的一个封闭解。
在这个讨论中,我们注意到在分析模型中的时间步长通常任意小(无穷小);我们可以通过求解微分方程得到在任意给定点处所要求的量。
现在我们来讨论离散时间模型。例如,考虑一个一阶向量自回归模型,它可以记为VAR(1),其形式如下:
这个模型的特征是时间步长。如果X为收益，那么时间t可以是天、周或是月，我们要研究的问题是：给定一个过程，我们确信它由一个给定的模型描述，我们是否可以随便选择时间步长？还是不同的模型应有不同的时间步长？
如果可以在一个模型中使用不同的步长，则我们就认为该模型在时间累积下是不变的。同时还要考虑另一个问题：我们能否通过缩短时间步长来提高模型的性能？这个问题随着高频数据的应用变得越来越重要。
对于这些问题并没有统一的答案。现在使用的大部分模型在时间聚集下不是不变的。因此，在离散模型领域，我们不得不接受在不同的时间步长和不同的水平下会有不同的模型这一事实。我们必须决定要研究哪种动态和哪种模型。在更长的时间范围内模型不一定会简化。每个模型都是对给定的一个时间步长和时间范围有效的近似，但对其他的步长和范围可能是无效的。
使用较短的时间步长并非总是有利的，它可能会让我们对短期动态性有更好的理解但不一定对长期预测有利：我们需要明白我们想要哪种类型的动态性。
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